理論物理院生の勉強日誌

1日に学んだ事を整理してまとめ、復習しやすくする事。Texに慣れておく事。 あまり時間はかけ過ぎず手短に書けばいい。

2018年8月26日

TASI Lecture on the emergence of bulk physics in AdS/CFT 

Daniel Harlow

 

4.2 Three qutrit code

 

量子でも古典でも、erroe correction の基本的なアイデアは、情報をより大きな系で冗長に記号化してerrorを致命的でなくすることである。

古典的には同じ情報を何度も送れば、1つが失われても情報を受け取ることはできる。しかしこれはquantum error-correcting codes をつくるときには問題がある。量子力学には、no-cloning 定理があり、量子状態のコピーができないのである。

 

なので代わりに、より大きい自由度のエンタングルメント構造の中に保存することで、情報を記号化する。

 

 

three qutrit code は、1つの logical qutrit の状態を3つの physical qutrit の系の中に保存することで守る quantum error-correcting code である。

(qutrit:3つの直交する量子状態の重ね合わせとして存在する量子情報の単位である。)

 

logical qutrit の任意の状態は、physical qurtit の code subspace(部分空間)の中に書ける。

この部分空間はqutritの cyclicな置換について対称性があり、基底状態はかなりエンタングルしている(?)

 

こうすると任意のlogical state に対して

 |\tilde{\Psi}\rangle = U_{12} ( |\Psi \rangle_1 \otimes  |\chi \rangle_{23}  )

と表せる。

 

これを送ったときに、3つ目が失われ、前の2つを受け取れたら、U^{\dagger}_{12} を作用させることで logical qutrit が取り出せる。これはcyclic な対称性によって、他の2つについても成り立つ。

 

つまり、qutritの中でどの1つが失われても、量子状態は守られる。

 

強調すべきは、three qutrit code の冗長さは、状態  |\chi \rangle のなかエンタングルメントに頼っていること。(?あんまりピンと来ない?)

 

 

 

ここで loginal operator の概念を導入する。これは単に logical qutrit 上の線形写像とする。そしてこれは、code subspace に作用するoperatorに格上げできる。

特に、今の code subspace については

O_{12} = U_{12} O_1 U^{\dagger}_{12} 

となる。

 

cyclicに対称なので、つまり任意の logical operator はphysical qutritの中の2つで表せる。

これは前のセクションで、bulk operator が3つのboundary 小区域のうちの2つで表せることと似ている。

 

  • physical qutrit は3つの格子点をもつboundary CFTの自由度で、ヒルベルト空間全体は27次元
  • logical qutrit は1つの格子点(bulkの中心にある)をもつbulk effective field theory の自由度で、logical operator はbulk field と解釈される

 

そして次の意味で、radial localityが成り立つ。

X3をphysical qutrit の3つ目にしか作用しないoperatorとすると、subspace の任意の状態について、

 \langle \tilde{\phi} | [\tilde{O} , X_3 ] | \tilde{\Psi} \rangle = \langle \tilde{\phi} | [ O_{12}, X_3 ] | \tilde{\Psi} \rangle = 0 

 つまりbulk operator は全てのboundary CFT のlocal operatorと交換する。これはcode subspace のみで成り立つのでtimeslice公理に反しない。

 

 

code subspace の直交補空間(残りのヒルベルト空間)はどうなっているのか。これらはbig BH の microstate で占められる。

 この解釈が一般化できることを見ていく。

 

ホログラフィーの three qutrit model は、bulk effective field theory 、radial locality、AdS-Rindler reconstruction 、BH entropy の全ての化身が入っている。その上、笠-高柳公式が成り立つことものちに見ていく。

 

また、AdS/CFT全体の構造がもう少し含まれるモデルを構築していく。

2018年8月25日

TASI Lecture on the emergence of Bulk physics in AdS/CFT

Daniel Harlow

 

 

3.3 AdS/Rindler reconstruction

 

AdS-Rindler wedge の中にあるbulk operator のreconstructionは一般化できる。

 

漸近的にAdSなbulk のboundaryの小区域 R から作られる、causal wedge C [R] を定義する。

このC[R] は今までの流れから、Rとdualなbulkの小区域の上限だと自然に推測できる。1つの議論は、C[R] 内のboundaryに近いところからC[R] 内の任意の点に情報を送り、そこからの返答を受け取ることができるため、C[R]内のbulk 場を決定できるというもの。

 

 

こういったことから、Rにあるoperatorだけを使ってC[R]のbulk operator を表現できるという推測(the causal wedge reconstruction conjecture)がある。

 

これを証明しようとすると、難しい偏微分方程式の問題になってしまう。しかし全く別の方法なら任意のRについて証明できる。しかもwedgeの上限は破られて、causal wedge を超えたreconstruction が許されている。

 

 

4 Quantum error correction and bulk locality

 

今まではbulk の運動方程式を解いてboundaryから放射状に reconstructionをしてきたが、holographyはこれが全てではない。

 

boundary locality はholographyの真の力を導く。それはわからない量子重力とわかっているlocal QFTが同じだということだ。

 

この章ではbulkのlocalityとboundaryのlocalityの間の相互作用に深く立ち入っていく。

 

 

4.1 Some Puzzles

 

holographyが解決すべきもっとも明確な問題は radial locality である。これはbulkの中心の自由度がboundaryの自由度とどうやって独立になるかである。

 

これはtimeslice の真ん中とboundary について、 [\phi(x) , \mathcal{O}(X) ] = 0 になるか、という形になる。

 

 これをboundary QFTの視点で見るとややこしくなる。数学的なQFTの基本的な原理として、time-slice 公理がある。

 

これによって全てのlocal operator と交換するものは単位元でないといけなくなる。

 

 time-slice公理との矛盾から、QFT同士のAdS/CFTのような双対性はできない。

 

 

 別の見方として、AdS-Rindler wedge を使う。あるbulk operatorをAdS-Rindler wedgeで表現すると特定のCFT operatorとは交換する。これを使うとφが全てのCFT operatorと交換することが分かるが、これもtime-slice公理に反してしまう。

 

 

また、次の状況を考える。boundary のtimeslice を3つに分けて,bulkの中心にあるoperatorを考える。

こうすると、bulk operator は3つの領域のうち任意の2つを合わせたもので表現されることが分かる。ではoperatorの情報はboundaryのどこにあるのか??

 

 

 これらの問題において重要なことは、いかに気づくこと。

AdS/CFTにおいて、ヒルベルト空間のほとんどの状態は、bulkの中心にmassive BHがあるbulk の配位であること。それに反してここまで見てきた問題は、AdS真空の近傍でreconstructされたφで表現されていたこと。

 

つまり、 [\phi(x) , \mathcal{O}(X) ] = 0 のような方程式はCFT ヒルベルト空間の部分空間のみで成り立つ。

 

AdS/CFTにおいてbulkがどのように現れるかに対する新しい一般的な枠組みの一部として、このideaがどのように使われるかを見ていく。

2018年8月22日

TASI Lectures on the Emergence of the Bulk in AdS/CFT

Daniel Harlow

 

3.2 Including Interactions

 

Seff から導出される運動方程式以外のものを使って同じ手続きをしたときに、何がダメなのかを考えてみる。解の構築は問題ないが、bulk operator の代数がダメになってしまう。

空間的に離れたφの交換関係は0にならなくなってしまうが、Seffから導出される形を使えば、これを含めた3点関数を計算すると、交換関係はO(g)の項にキャンセルされる。(?あんまりよくわかっていない?)

 

 

前回の展開の高次の項まで行くと、φがゲージ不変で無くなる。これはU(1)でbulk(φ)からboundaryまでWilson line を繋げるのと同様に、微分同相写像で不変に扱うために、φからboundaryまで測地線を繋げる。こうするとoperator を holographic gauge で扱うことになり、メトリックは制限を受けて形が決まる。

 

 

最後に、摂動展開をpure AdS 以外のbackground で見てみる。

原理的には構築できるが、spacelike Green 関数の存在はAdSの対称性に大きく依存するという重要な点がある。漸近的AdSではGreen 関数の存在は未解決の問題である。

 

しかし、1つ重要なことがある。原理的にはAdSの周りでの展開は、bulk operator を考え出すために必要な情報が全て含まれている、というものだ。

 

真空でのbulk reconstruction の diagramをすべて足せば、原理的には他の幾何でもoperatorが成り立つことが示せる。(?細かい話は難しいらしい?)

 

 

 

3.3 AdS/Rindler Reconstruction

 

ここではglobal reconstruction に変わる表現が可能であることを見る。boundary全体のtimeslice ではなく、その小区域のCFTで表現されるものである。

 

これは subregion dual という強力な考え方である。boundary CFT の小区域が、bulk の未確定な小区域で現在起きていることの情報を完璧に持っているという概念。

 

このbulkの小区域が何かを決めるのがこの講義の主な狙いの1つである。

 

 

(2,d)のミンコフスキー空間から抜き出すときのparameterizationを変える。

ここでAdS全体のうちの小区域はAdS/Rindler wedge と言われている。(?あんまりピンとこない?)

 

 

スカラー場をRindler wedge の中でモード展開する。それをまとめると

 

\displaystyle \phi(x)|_{x \in W} = \int_{\partial W} ~dX ~ \hat{K}(x;X) ~ \mathcal{O}(X)

 

W は AdS/Rindler wedge 

\partial W は WがAdS bondary と交差してる部分。これはglobal coordinate(元の座標)での t = 0 のboundary timeslice の半円のcausal diamond の領域と等価である。

 

 

重要な点は、スカラー場がWの中にあるなら上の式のようなCFTでの表現を持つ。

 

これはboundary の半円からより一般的な小区域に拡張される。

2018年8月21日

TASI Lecture

Daniel Harlow

 

3.1 Free Scalar Reconstruction 

 

ここでのreconstruction のアプローチはbulkの運動方程式を、外挿した辞書を使い、CFTのoperator equationとして摂動的に解くものである。

 

bulk のfree scalar field を生成・消滅演算子で展開した形を使う。これに外挿した辞書などを代入し、振動数が正のものと負のもので分けてフーリエ変換をすることで、生成・消滅演算子を表せる。 

 

これを元のscalar field に代入すると、bulk scalar field をCFTで表せたことが分かる。

 

 

ただ、このreconstructionには困ったことが2つある。

1つ目は振動数が正か負かで分けること。

2つ目は直感に反して t'の積分範囲が t に依存していないこと。

 

だがこれらはKを構築するときのambiguity をうまく利用することで解決できる。

 

解決するためにbulk の点を r = 0、 t = 0 にとってみると、積分の範囲はこの点の空間的に離れたboundaryだと分かる。

 

そして、Kのambiguity を調節することでKを実にできて、振動数の正負が組み合わさる。これをAdS isometry でbulkの別の点に移すことで新しいKが生成される。これをまとめるとreconstructionは(metricのdetは省略して書くと)

 

\displaystyle \phi(x) = \int_{S_x} ~~dX ~ K(x ; X)  \mathcal{O}(X)

 

 

 これはCauchy slice 上のCFTの自由度を使っているので(?)、global reconstruction と言われている。

 

 

 

3.2 Including Interaction

 

運動方程式を解くことによるreconstruction の強みは、摂動的に相互作用を含むように拡張できることである。

 

key idea は、spacelike bulk Green function の概念の導入である。

 

このGreen関数に求められるspacelike support (?Green関数はsupport function?)は標準的ではなく、Green関数が存在するか明らかではないが、r = 0 ならばspacelike support とともにGreen関数は存在し、これを対称性によって動かすことで任意の場所でのGreen関数が得られる。

 

 

注意すべきなのは、G (x , x') は x と x' の間で対象でないことである。

 

 

Green関数を使うことで以下のようになる。

 

\displaystyle \phi(x) =  \int ~~dX' ~ K(x ; X')  \mathcal{O}(X')  +  g \int ~~ dX' ~ dX'' ~dx' K(x';X') K(x';X'') G(x,x') \mathcal{O}(X') \mathcal{O}(X'') + O(g^2)

 

(Seff から得られるφの非線形運動方程式を代入した) 

 

この展開はFeynmann図のような図に描けることが分かる。 

2018年8月20日

TASI lecture 

Daniel Harlow

 

3. Bulk Reconstruction

 

AdS/CFT の辞書はある種の散乱実験、boundary local operator を使った相関関数を議論するには十分である。

BHの形成や蒸発のunitarityなどもこの実験に含まれている。

 

ただし全てのbulkでの実験がboundaryの相関関数と簡単に結びついているようには思えない。問題はhorizonの中で起きた実験の出力はboundaryまで届かないことである。

 

boundaryから遠く離れたbulk operatorを表現するようなCFT operator をどのように定義するかを理解する上で、これは有益だろうと考えられる。

 

このような bulk reconstruction にはこのような反論があるだろう。

 

  • local bulk operator は微分同相写像に不変ではない、これらが全ての状態が物理的なCFTにおいて何かしらを意味すべき理由は何か?
  • BHからわかるように最大のエントロピーはその境界での面積でスケールされる、これはbulkはlocal Lagrangian を使って表現することは可能であるべきではない、そして local bulk operator はwell-definedであるべきではないという意味ではないのか?

 

1つ目はゲージ固定で対処できるのでそこまで深刻ではない。

2つ目は深刻で、これに含まれる意味のいくつかを理解することが、この講義のゴールである。最終的にはbulk operator は e^{-1/G}のオーダーのnon-perturbative ambiguities までのみ定義されることをみる。

 

2018年7月31日

 

パリティ 2015年11月号

素粒子統一理論としての超弦理論

 

標準模型には、重力が含まれていない、暗黒セクターの候補がないなどの問題点がある。

超弦理論は重力を含んでいるだけでなく、6次元ある余剰次元が豊富な構造を取るため暗黒セクターの起源と考えることができるので素粒子統一理論の候補となっている。

 

 

複数のD brane の組が交差して余剰次元に巻きつくことで標準模型を実現している。

 

 

D brane が3枚重なったものの上では、グルーオンの開弦モードが伝搬し、2枚重なったものの上ではWボゾンの開弦モードが伝搬する。

またそれらが交差したところに、2つのD braneの組にまたがるようにしてくっついている開弦は、 u_L と d_L の二重項となる。

 

 

このように交差した点の開弦を決めていくと、標準模型SU(3) \times SU(2) \times U(1) のゲージ対称性と1世代分(?)のクォークレプトンを定義できる。この時、標準模型にはない右巻きニュートリノや2つ目のヒッグス二重項も現れる。

 

 

 

ここまでは摂動論模型での質量ゼロモードである。なので素粒子の模型を実際に作るためには質量を作る、つまりヒッグスポテンシャルや湯川結合の値を決める必要がある。

 

しかし摂動論ではポテンシャルの真空の周りしか見えず、全体像が見えない。

 

だが、余剰次元やD brane の配位によって弦理論模型の結合やスケールなどの性質が決まるのである。(?どうしてか気になる?)

 

 具体的にはゲージ群のスケールはDbrane が巻きつく余剰次元の部分体積半径に対応し、湯川結合はヒッグスの交差点を含む D brane が作るの三角形の大きさ(交差点の距離)に対応している。

 

 

 余剰次元やD brane の配位は以下の2つで決まる

① モジュライ (パラメータで動的スカラー

余剰次元の位相 D brane の枚数や巻きつき数 (離散的)

 

 

②はSMにはない自由度なので、余剰次元は暗黒セクターの住み家だと思われている。(string アクシオンは擬スカラー的モジュライらしい)

 

モジュライの値は、磁束や反brane を導入するKKLT模型によって決定することができる。

 

現在でもKKLT模型のアイデアに従って低エネルギーの模型が作られている。つまりモジュライに注目して素粒子実験や宇宙観測を説明する試みが行われている。

 

 

 

物理学基礎シリーズ10

素粒子物理学

 

 

7.4 ゲージ階層性

 

標準模型での質量を振り返ってみる。

 

ゲージ対称性が破れる前はゲージ粒子の質量はゼロである。これは対称性によって質量項が禁止されているためである。

クォークレプトンは左右非対称な量子数のせいでDirac mass を持てない。ゲージ対称性の破れが起きてから湯川相互作用で質量を持つ。

 

このようにゲージ粒子クォークレプトンが低エネルギーで生き残るのはゲージ対称性およびカイラル対称性があるからである。

 

 

しかしヒッグス粒子に関しては、低エネルギーで生き残る理由を対称性では見つけられないのである。

また、ヒッグスの4点関数を計算すると二次発散する量子補正が現れる。これをくり込んでSSBのスケールと合わせるために理論パラメータの調整(fine tuning)が必要である。

 

また、なぜ電弱対称性の破れスケールがGUTスケールに比べて非常に小さいのか(ゲージ階層性の問題)が未解決である。

 

これの解決策の1つとして超対称性の導入がある。 

 

2018年7月24日

 

TASI Lecture on the Emergence of Bulk Physics in AdS/CFT

 

 

2.3 Statement of the Correspondence

 

どんなCFTが semiclassical な重力と dual なのかを定義する。

 

Definition 2.1

  • 有限個のCFT primary operator があり、局所的なバルクの有効作用 S_{eff} [ \phi_i , \Lambda ] (ここで、カットオフは \displaystyle \frac{1}{l} \lt \Lambda \lt \frac{1}{l_p} )を持つ
  • 有限個のバルク場は、外挿された辞書 \displaystyle \lim_{ r \to \infty } r^{\Delta}~ \phi_i (r ,t ,\Omega) = \mathcal{O}_i (t ,\Omega)    を持っていて、 \displaystyle  \int D\phi_i ~e^{iS_{eff}} \mathcal{O}_{i_1} \cdots \mathcal{O}_{i_n}  \approx \langle \mathcal{O}_{i_1} \cdots \mathcal{O}_{i_n} \rangle _{CFT}  となる

 このようなCFTは真空の近くで semiclassical dual を持つ(?あんまりピンとこない?)

 

 

 

外挿された辞書は、バルク場とboundary primary operatorの一般的な関係を与える。

(例)bulk  g_{\mu\nu} \longleftrightarrow T_{\mu\nu} boundary

      A_{\mu} \longleftrightarrow J_{\mu}

 

 

 

Definition 2.1  はブラックホール については何も言っていない。ブラックホールは真空近くの励起状態ではなく、有限個の operator の作用では作れない。 

 

 

 

Definition 2.2 

semiclassical dual を持つCFTは、Definition 2.1 のbulk での期待値とCFTでの相関関数の関係が、boundary の induced metric が任意だが固定されることが許されるような、より一般的な条件においても成り立つ。

 

 

 

 

特にブラックホール エントロピーがうまくいくのはユークリッド化した boundary の幾何学 \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{d-1} の時である。

 

 

CFTヒルベルト空間のバルク全体の描像を得るためには、この両方の定義が必要である。

 

 

 

 

2.4 Gapped Large - N Theories

 

CFTが semiclassical dual を持つ必要十分条件となる一般的な基準はまだない。しかし十分条件と思われるものはある。 

 

 

Definition 2.3

gapped large-N CFT

  • 有限個のsingle-trace primary があり、それを \langle \mathcal{O_i O_i} \rangle \sim N^0 と規格化すると、\displaystyle \langle \mathcal{O_i O_j O_k} \rangle \lesssim \frac{1}{N^{\# /2}}    (?どういう意味がある?)
  • 1つだけspin2 のsingle-trace primary とスケール次元d 、エネルギー・運動量テンソルがある
  • 任意のsingle-trace の集まりはmulti-trace
  • 相関関数はWick contraction で計算できる

 

ここから以下が言える

 

Claim 2.2 

任意の gapped large-N CFT は semiclassical dual を持つ

バルク場 \phi_i はsingle-trace primary  \mathcal{O_i} に対応する

 

 

これは、ローレンツ不変なS行列を持ちクラスター分解原理に従うものがlocal QFT に対応することと類似している(?どこが?)